Скачать Множество Мандельброта

11.07.1994
Скачать файл (166,65 Кб)

Множество Мандельбротта. Занялся я этой задачей еще в 1985 году, когда в журнале "В мире науки" ("Sientific American") на русском языке я прочитал статью, где о нем и говорилось. Сначала я писал эту программу на Фортране на Электронике-60, затем на Сях на первых IBM PC 286, и, наконец, на Паскале. Год назад, я узнал, что метод расчета, используемый мною, туп до безобразия, т.к. существуют гораздо более быстрые и эффективные алгоритмы, но что возмешь с зеленого (тогда еще) программера? :-)

Нарисованные картинки можно сохранять. У меня этих картинок более 5 Мб. Есть так себе, а есть ну просто завораживающие.

Программа mandel.exe предназначена для генерации так называемого множества Мандельбротта. Это множество, названное в честь своего открывателя, находится на комплексной плоскости и рассчитывается по формуле:

Z(i+1) = Z(i)^2 + C,
где C - комплексная константа, Z - комплексная переменная, причем Z(1) = 0. Считается, что некая точка C = x + yi (i - мнимая единица: i^2 = -1) на комплексной плоскости принадлежит множеству Мандельбротта, если при достаточно большом числе итераций модуль числа Z не превышает 2.

Множество Мандельбротта является фрактальным и по недоказанной теореме связным, т. е. из любой точки множества можно попасть в другую не пересекая границы множества.

Практический интерес же представляет не само множество, а граничные с ним области. Оказалось, что если присваивать некоей точке цвет в соответствии с числом итераций, требующихся для достижения ей модуля 2, то получаются весьма замысловатые и очень красивые узоры. Особенно интересно наблюдать за какой нибудь областью множества при все увеличивающемся разрешении.

Для отрисовки множества Мандельбротта и приграничных с ним областей в программе используются следующие алгоритм и формулы:

     пусть C = a + bi, Z = x + yi, тогда:
     Z^2 = ( x + yi )^2 = x^2 + 2xyi - y^2
     Модуль числа Z: |Z| = Sqrt( x^2 + y^2 )

const
  MaxIter = 1000;
 
var
  I: integer;
  x, y, temp: real;
  a, b: real;
 
...........................
  I := 0;
  x := 0;
  y := 0;
  repeat
    temp := Sqr(x) - Sqr(y) + a;
    y := 2 * x * y + b;
    x := temp;
    Inc( I )
  until ( 4.0 <= Sqr(x) + Sqr(y)) or ( I >= MaxIter );
  PutPixel( ??, ??, I div ( MaxIter div 256 ))        { отрисовать точку }
...........................

Для начала рекомендуется использовать предел числа итераций не более 1000. Большее число итераций приводит к большему времени вычисления точек, принадлежащих множеству и находящихся вблизи границы.

Можно также пробовать задавать количество цветов большее чем 256, например 32 тыс. или даже 16 млн. Но очень хорошие результаты получаются и при 256 цветах.

Для того чтобы не использовать палитру VGA по умолчанию программа перенастраивает ее на свои цвета.

Работа с программой.

Запуск: mandel - отрисовывает все множество (в границах от -2.0 до 2.0);

mandel имя.pcx - показывает ранее сохраненную область множества.

После отрисовки множества или его части в центре экрана появляется белый квадрат, который можно перемещать по картинке (клавиши Up, Down, Right, Left), увеличивать или уменьшать его размер (клавиши PageDown и PageUp). Клавиша Enter позволяет перерисовать часть множества, заключенную в белый квадрат.

Клавиша от 1 до 6 меняют текущую палитру VGA. Для разных областей множества могут подходить различные палитры.

Клавиши r и w соответственно читают или записывают из/в файл область множества в формате pcx, причем в файл также записываются границы области, текущее разрешение и число итераций, так что в любой день можно продолжить свои похождения по множеству, начиная не с нуля.

Клавиша Esc заканчивает работу с программой.