Скачать Алгоритм Дейкстры для кратчайшего пути в графе

04.07.1997
Скачать файл (1,79 Кб)

Задача:

В ориентированной, неориентированной или смешанной (т. е. такой, где часть дорог имеет одностороннее движение) сети V найти кратчайший путь из заданной вершины i во все остальные вершины. Решение (Дейкстpа, 1959 г.)

Алгоритм использует три массива из N (= числу вершин сети) чисел каждый. Первый массив A содержит метки с двумя значения: 0 (вершина еще не рассмотрена) и 1 (вершина уже рассмотрена); второй массив B содержит расстояния - текущие кратчайшие рас- стояния от до соответствующей вершины; третий массив с содержит номера вершин - k-й элемент С[k] есть номер предпоследней вершины на текущем кратчайшем пути из Vi в Vk. Матрица расстояний D[i,k] задает длины дуге D[i,k]; если такой дуги нет, то D[i,k] присваивается большое число Б, равное "машинной бесконечности".

Теперь можно описать

* Алгоритм Дейкстры *

1 (инициализация). В цикле от 1 до N заполнить нулями массив
A; заполнить числом i массив C; перенести i-ю строку матрицы
D в массив B,
   A[i]:=1; C[i]:=0 (i - номер стартовой вершины)
2 (общий шаг). Hайти минимум среди неотмеченных (т. е. тех k, для
которых A[k]=0); пусть минимум достигается на индексе j, т. е. B[j]<=B[k]
Затем выполняются следующие операции:
 A[j]:=1;
 если B[k]>B[j]+D[j,k], то (B[k]:=B[j]+D[j,k]; C[k]:=j)
(Условие означает, что путь Vi ... Vk длиннее, чем путь Vi...Vj Vk).
(Если все A[k] отмечены, то длина пути от Vi до Vk равна B[k]. Теперь
надо) перечислить вершины, входящие в кратчайший путь).
3 (выдача ответа). (Путь от Vi до Vk выдается в обратном порядке
следующей процедурой:)
3.1.  z:=C[k];
3.2.  Выдать z;
3.3.  z:=C[z]. Если z = О, то конец,
      иначе перейти к 3.2.

Для выполнения алгоритма нужно N раз просмотреть массив B из N элементов, т. е. алгоритм Дейкстры имеет квадратичную сложность: O(n2).